Pour gonfler le plus efficacement possible une bouteille de plongée à l’aide de 2 bouteilles tampons ayant des pressions différentes, je commence par équilibrer la bouteille avec :

Pour déterminer la méthode la plus efficace pour gonfler une bouteille de plongée à partir de deux tampons de volumes résiduels différents, il faut examiner l’ensemble des cas possibles afin d’identifier le scénario optimal.

Pour étudier cette problématique, nous réaliserons quatre expériences avec une bouteille \(C_1\), dont la pression résiduelle est \(P_1\). Le volume résiduel correspondant dans le bloc sera calculé selon la formule :

\[V_1 = P_1 \times C_1\]

Nous utiliserons également deux bouteilles tampons de même capacité, \(T_1\) et \(T_2\), présentant des pressions résiduelles différentes, avec \(P_{T1} < P_{T2}\). Leurs volumes résiduels seront déterminés comme suit :

\[V_{T1} = P_{T1} \times C_{T1}\]

\[V_{T2} = P_{T2} \times C_{T2}\]

Afin de faciliter l’analyse des résultats, les expériences seront réalisées à partir de valeurs numériques précises. Nous retiendrons les hypothèses suivantes :

\[C_1 = 10 \text{ L}\] \[P_1 = 100 \text{ bars}\] \[V_1 = P_1 \times C_1 = 100 \times 10 = 1\,000 \text{ L}\] \[T_1 = T_2 = 50 \text{ L}\] \[P_{T1} = 150 \text{ bars}\] \[V_{T1} = P_{T1} \times T_1 = 150 \times 50 = 7\,500 \text{ L}\] \[P_{T2} = 200 \text{ bars}\] \[V_{T2} = P_{T2} \times T_2 = 200 \times 50 = 10\,000 \text{ L}\]

Scénario 1 : Je mets la bouteille C1 en équilibre avec les tampons T1 et T2

On note :

\[\frac {V_1 + V_{T1} + V_{T2}} {C_1 + T_1 + T_2} = \frac {1\,000 + 7\,500 + 10\,000} {10 + 50 + 50} = 168 \text{ bars}\]

Scénario 2 : Je mets d'abord les tampons T1 et T2 en équilibre puis je mets successivement C1 en équilibre avec T1 puis T2

Première phase, T1 et T2 à l'équilibre :

\[\frac {V_{T1} + V_{T2}} {T_1 + T_2} = \frac {7\,500 + 10\,000} {50 + 50} = 175 \text{ bars}\] \[V_{T1+T2} = P_{T1+T2} \times (T_1 \text{ ou } T_2) = 175 \times 50 = 8\,750 \text{ L}\]

Deuxième phase, C1 et T1 à l'équilibre :

\[\frac {V_{1} + V_{T1+T2}} {C_1 + T_1} = \frac {1\,000 + 8\,750} {10 + 50} = 163 \text{ bars} = P_3\] \[V_3 = P_3 \times C_1 = 163 \times 10 = 1\,630 \text{ L}\]

Troisième phase, C1 et T2 à l'équilibre :

\[\frac {V_3 + V_{T1+T2}} {C_1 + T_2} = \frac {1\,630 + 8\,750} {10 + 50} = 173 \text{ bars}\]

Scénario 3 : Je mets la bouteille C1 en équilibre successivement avec les tampons T2 puis T1

Première phase, C1 et T2 à l'équilibre :

\[\frac {V_{1} + V_{T2}} {C_1 + T_2} = \frac {1\,000 + 10\,000} {10 + 50} = 183 \text{ bars} = P_3\] \[V_3 = P_3 \times C_1 = 183 \times 10 = 1\,830 \text{ L}\]

Deuxième phase, C1 et T1 à l'équilibre :

\[\frac {V_{3} + V_{T1}} {C_1 + T_1} = \frac {1\,830 + 7\,500} {10 + 50} = 155 \text{ bars} = P_3\]

Scénario 4 : Je mets la bouteille C1 en équilibre successivement avec les tampons T1 puis T2

Première phase, C1 et T1 à l'équilibre :

\[\frac {V_{1} + V_{T1}} {C_1 + T_1} = \frac {1\,000 + 7\,500} {10 + 50} = 142 \text{ bars} = P_3\] \[V_3 = P_3 \times C_1 = 142 \times 10 = 1\,420 \text{ L}\]

Deuxième phase, C1 et T2 à l'équilibre :

\[\frac {V_{3} + V_{T2}} {C_1 + T_2} = \frac {1\,420 + 10\,000} {10 + 50} = 190 \text{ bars} = P_3\]

Conclusion

L’ensemble des scénarios montre que la méthode la plus efficace est le scénario 4 : il faut d’abord équilibrer la bouteille avec le tampon de plus faible capacité, puis avec celui de plus grande capacité.

De manière générale, commencez par le tampon dont la pression est la plus basse. Il pourra transférer une partie de son gaz dans la bouteille jusqu’à atteindre un niveau intermédiaire. Une fois les pressions équilibrées, utilisez le tampon à pression plus élevée pour terminer le remplissage et atteindre la pression finale maximale.

L’ordre inverse serait moins efficace, car il réduirait inutilement la pression du tampon le plus chargé. Le tampon à faible pression risquerait ensuite de ne plus pouvoir transférer de gaz dans la bouteille.